平面点集

在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点$P$与有序二元实数组$(x,y)$之间建立了一一对应。
因此可以把有序实数组$(x,y)$与平面上的点$P$视作是等同的。
这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。

坐标平面上具有某种性质$P$的点的集合，称为平面点集，记作
$$ E=\lbrace (x,y) | \text{ $(x,y)$ 具有性质 $P$ } \rbrace $$

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$ 平面上的一个点，$\delta$ 是某一个正数，与点 $P_0(x_0,y_0)$ 距离小于 $\delta$ 的点 $P(x,y)$ 的全体，称为点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta)$ ，即
$$ U(P_0,\delta) = \lbrace P | |PP_0| \lt \delta \rbrace $$

去心邻域 $ \mathring{U}(P_0, \delta) $

点与点集的关系

设点$P$，点集$E$，两者关系必为三者之一：

• 内点
  （存在 $U(P)$ 使$U(P)\subset E$）
• 外点
  （存在 $U(P)$ 使$U(P)\cap E \ne \varnothing$）
• 边界点
  （点$P$的任意邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点）

$E$的边界点的全体称为$E$的边界，记作 $\partial E$。
$E$的内点必属于$E$，$E$的外点必不属于$E$，边界点则不一定。

与上面三个关系平行的还有一个关系：聚点

• 如果对于任意给定的$\delta>0$，点$P$的去心邻域内总有$E$中的点，则称$P$为$E$的聚点。
  （P可以属于$E$，也可以不属于）

重要的平面点集

• 开集（都是内点）
• 闭集（含所有边界）
• 既非开集也非闭集

空间曲线切线条件

对于参数方程型：
$$\begin{cases}
x = \phi(t) \
y = \psi(t) \
z = \omega(t)
\end{cases}, ,
t\in[\alpha, \beta]$$
要求三个函数都在$[\alpha, \beta]$上可导（没说连续），且三个导数不同时为零。

对于：
$$\begin{cases}
y = \phi(x)\
z = \psi(x)
\end{cases}$$
取$x$做参数，可看作参数方程讨论。

对于隐函数：
$$\begin{cases}
F(x,y,z)=0 \
G(x,y,z)=0
\end{cases}$$
要求$F$、$G$有对各个变量的连续偏导数

曲面的切平面条件

偏导数连续且不同时为零。